In ricordo di Vania Sordoni

La prof.ssa Vania Sordoni, dopo aver conseguito il Dottorato di Ricerca in Matematica presso l’Università di Bologna, ha ricoperto il ruolo di ricercatore universitario fino al 1990 e successivamente quello di professoressa associata di Analisi Matematica dal 2001. Ha trascorso lunghi periodi di studio all’estero ed è stata spesso invitata presso prestigiose università straniere in Francia, Svezia, Giappone e Stati Uniti. Nel corso della sua attività didattica è stata docente apprezzata di numerosi corsi di Analisi presso la Facoltà di Scienze.

Nella sua attività di studiosa Vania si è occupata di diverse problematiche concernenti la teoria geometrica delle equazioni alle derivate parziali (EDP), interessandosi sia di aspetti puramente teorici alla base delle EDP, sia di questioni provenienti dalla fisica matematica. Nel corso della sua attività scientifica, ella si è in particolare interessata ai campi di ricerca che andiamo a menzionare, collaborando anche con noti studiosi attivi in tali campi.

Del primo tipo di questioni ricordiamo lo studio della buona posizione del problema di Cauchy e della propagazione delle singolarità per operatori iperbolici a caratteristiche multiple. Si tratta di questioni classiche delle EDP, in quanto si intende scoprire sotto quali condizioni geometriche invarianti un dato problema di Cauchy ammette soluzione (unica) nella classe di regolarità assegnata oppure, come controparte, si intende caratterizzare geometricamente la differenza che intercorre fra il fronte d’onda del dato f del problema P u = f e quello della corrispondente soluzione u. In questo quadro Vania ha ottenuto risultati nell’ambito difficile e poco esplorato delle caratteristiche multiple più che doppie, mostrando, tra l’altro, come la propagazione delle singolarità avvenga lungo un’opportuna foliazione intrinsecamente associata alla varietà caratteristica.

Un secondo filone di ricerca affrontato da Vania riguarda problemi che naturalmente provengono dalla meccanica quantistica, come lo studio dell’evoluzione di un sistema di particelle o l’analisi degli stati stazionari dell’equazione di Schrödinger con campo elettromagnetico. Tra questi citiamo in particolare il problema dell’approssimazione di Born-Oppenheimer per studiare sistemi quantistici con potenziali singolari. L’idea alla base risale al 1927, quando i fisici M. Born e R. Oppenheimer, per studiare la dinamica di un sistema di atomi, osservarono che, a causa della disparità di massa fra elettroni e nuclei, i primi sono assai più veloci dei secondi, e si adattano “quasi istantaneamente” al moto dei nuclei, permanendo in buona approssimazione nel loro stato fondamentale. Questa osservazione permette di disaccoppiare il moto dei nuclei da quello degli elettroni e di ridurre cosı̀ l’influenza dei secondi sui primi a un campo elettrico con potenziale che dipende solo dalla posizione dei nuclei. Sebbene questo approccio risponda egregiamente all’intuizione fisica, esso non è altrettanto matematicamente rigoroso nel senso che conduce a soluzioni a priori esclusivamente formali, mentre solo una precisa stima dei termini di resto può misurare quanto queste soluzioni formali approssimino effettivamente quelle reali. In questa direzione, nell’ambito dell’analogo semiclassico, si è sviluppata nel corso degli anni una vasta attività scientifica condotta da molti studiosi con cui Vania ha intensamente collaborato dando importanti contributi. L’idea alla base di questi studi è di ottenere soluzioni approssimate per mezzo del calcolo semiclassico: una variante dell’usuale calcolo pseudodifferenziale che misura gli errori in termini di potenze di un piccolo parametro h, in questo caso espresso dalla radice del rapporto fra le masse degli elettroni e quelle dei nuclei. I risultati ottenuti da Vania in collaborazione con altri ricercatori consentono di applicare queste tecniche a potenziali singolari come quelli di tipo coulombiano, tipici dell’ambito fisico, ed esclusi dalla letteratura precedente. Interessanti sono anche le applicazioni ottenute per alcuni problemi di scattering e per lo studio dello spettro e delle risonanze di molecole sottoposte ad un campo elettrico esterno.

Completiamo infine questa breve rassegna citando anche le sue ricerche sugli effetti di regolarizzazione prodotti dall’evoluzione temporale associata ad operatori di tipo Schrödinger, ossia quando la soluzione del problema associato diviene regolare nonostante il dato iniziale non lo sia. Nel corso degli anni questi fenomeni hanno catturato l’attenzione di una vasta comunità scientifica, soprattutto da quando è stato mostrato come la propagazione delle singolarità delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger dipenda dalla natura globale, e non locale, delle sue bicaratteristiche (le curve hamiltoniane associate al simbolo dell’operatore). In una serie di lavori Vania, insiemi ad altri studiosi, considera una classe di operatori di Schrödinger associati ad una metrica asintoticamente euclidea, il cui laplaciano riemanniano è una perturbazione di quello piatto che tende a quest’ultimo all’infinito, più lentamente nella categoria cosiddetta delle perturbazioni “long-range” e più velocemente nella categoria delle perturbazioni “short-range”. Nel primo caso ha ottenuto dei risultati fini di propagazione delle singolarità analitiche, utilizzando il fronte d’onda analitico omogeneo della soluzione, il quale meglio si adatta al problema rispetto a quello classico; l’uso delle stime dell’energia piuttosto che la  costruzione di una parametrice globale ha permesso di semplificare sensibilmente le tecniche presenti fino a quel momento in letteratura e di ridurre le richieste di regolarità sui coefficienti dell’operatore di Schrödinger. Nel caso di perturbazioni “short-range” Vania ha fornito una precisa caratterizzazione del fronte d’onda analitico della soluzione in termini del fronte d’onda analitico della soluzione del sistema libero, ossia del sistema soggetto al solo laplaciano piatto.

Desideriamo concludere con una nota personale. Oltre all’importante contributo scientifico, di Vania rimane il generoso e costante impegno sociale volto ad eliminare ogni forma di discriminazione o barriera nei confronti delle donne. La tenacia e il forte sentimento di giustizia
che l’hanno contraddistinta sono parte indelebile del ricordo di tutti coloro che hanno avuto la fortuna di conoscerla.

Vania era una persona aperta e socievole, sempre disponibile al dialogo e desiderosa di parlare di matematica anche con i più giovani e con gli studenti. Aveva un sorriso aperto ed una risata contagiosa con cui sempre la ricorderemo. Ci mancherà moltissimo.