Lo studio di problemi matematici legati al trattamento di immagini è un terreno comune tra numerose applicazioni, in ambito industriale come nell'imaging medico, nella scala della microscopia, nell’indagine non-distruttiva di materiali e nella stima dello spessore di frana, o nell’imaging astronomico. L’interesse del gruppo è legato a problemi in cui sia necessario ricostruire immagini a partire da misurazioni indirette, spesso soggette a processi di degradazione: per quanto i modelli fisici che descrivano ciascuna applicazione siano noti, il processo di inversione risulta mal posto, ossia l’esistenza, unicità e stabilità della soluzione non sono garantite.
Le tecniche matematiche più efficaci integrano il processo di inversione con informazioni a priori sulla soluzione desiderata: ciò può avvenire incorporando tale conoscenza in opportuni modelli teorici (approccio model-based) o utilizzando grandi quantità di immagini per estrarre informazioni e correlazioni presenti nei dati (approccio data-driven). Gli approcci basati su modelli conducono, da un lato, a tecniche di regolarizzazione formulate come problemi di ottimizzazione (in ambito convesso e non convesso e in presenza di vincoli), dall’altro, alla risoluzione di equazioni alle derivate parziali mediante metodi numerici. Le metodologie basate sui dati sfruttano strumenti dell’apprendimento statistico, sviluppando metodi di ricostruzione con reti neurali. Data la mal posizione dei problemi trattati, è fondamentale formulare risultati rigorosi per tali tecniche, in termini di esistenza e stabilità delle soluzioni, interpretabilità e dipendenza dai dati utilizzati per l’apprendimento.
Il gruppo si occupa di affrontare queste sfide sviluppando competenze matematiche transdisciplinari per le scienze dell'immagine. I principali problemi affrontati riguardano:
- inversione di dati di rilassometria e spettroscopia NMR;
- ricostruzioni di tomografia in presenza di dati severamente sotto-campionati o campionati randomicamente;
- identificazione di parametri in modelli differenziali di diffusione-trasporto e reazione non lineare;
- deblurring/denoising di immagini 2D/3D;
- Image inpainting tramite schemi semi-Lagrangiani per il game p-Laplaciano;
- tecniche di compressed sensing e di promozione di sparsità per la ricostruzione di segnali, immagini e video;
- segmentazione di strutture in immagini 2D e campi scalari su manifold;
- ricostruzione 3D di superfici a partire da immagini bidimensionali (problemi appartenenti alla classe Shape-from-X con modelli di riflessione non-Lambertiani, Photometrici Stereo Shape-from-X, Multi-View Shape-from-Shading);
- ricostruzione di 2D/3D immagini da tomografia ad impedenza elettrica (EIT) con tecniche model-based e data-driven;
- garanzie teoriche per tecniche di regolarizzazione basate sull’apprendimento statistico: convergenza, stabilità, generalizzazione;
- processing e inversione di dati geologici e topografici da telerilevamento finalizzato alla stima dello spessore di frana.